¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Responder:

# {: ("Punto crítico", "Conclusión"), ((0,0,0), "silla de montar"):} #

Explicación:

La teoría para identificar los extremos de # z = f (x, y) # es:

1. Resuelve simultáneamente las ecuaciones críticas.

   # (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 # (es decir # f_x = f_y = 0 #)

2. Evaluar #f_ (x x), f_ (yy) y f_ (xy) (= f_ (yx)) # en cada uno de estos puntos críticos. Por lo tanto evaluar # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # en cada uno de estos puntos
3. Determine la naturaleza de los extremos;

   # {: (Delta> 0, "Hay un mínimo si" f_ (xx) <0), (, "y un máximo si" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "hay un punto de silla"), (Delta = 0, "Se necesita más análisis"):} #

Entonces tenemos:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Encontremos las primeras derivadas parciales:

# (parcial f) / (parcial x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (parcial f) / (parcial y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Así que nuestras ecuaciones críticas son:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

De estas ecuaciones tenemos:

# y = 0 # o # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # o # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Y la única solución simultánea es # x = y = 0 #

Y así tenemos uno punto crítico en el origen

Entonces, veamos las segundas derivadas parciales para poder determinar la naturaleza del punto crítico (solo citaré estos resultados):

# (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (parcial ^ 2f) / (parcial y parcial x)) #

Y debemos calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y)) ^ 2 #

en cada punto crítico. Los segundos valores derivados parciales, #Delta#, y conclusión son las siguientes:

# {: ("Punto crítico", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y), Delta, "Conclusión"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "inclusivo"):} #

Entonces, después de todo ese trabajo, es bastante decepcionante obtener un resultado inclusivo, pero si examinamos el comportamiento en torno al punto crítico, podemos establecer fácilmente que es un punto de referencia.

Podemos ver estos puntos críticos si nos fijamos en un gráfico 3D: