¿Cuál es la ecuación de la parábola con un enfoque en (-15, -19) y una directriz de y = -8?

Responder:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Explicación:

Debido a que la directriz es una línea horizontal, sabemos que la parábola está orientada verticalmente (se abre hacia arriba o hacia abajo). Debido a que la coordenada y del foco (-19) debajo de la directriz (-8), sabemos que la parábola se abre hacia abajo. La forma de vértice de la ecuación para este tipo de parábola es:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Donde h es la coordenada x del vértice, k es la coordenada y del vértice y la distancia focal, f, es la mitad de la distancia con signo desde la directriz hasta el foco:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

La coordenada y del vértice, k, es f más la coordenada y de la directriz:

# k = f + y _ ("directriz") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

La coordenada x del vértice, h, es la misma que la coordenada x del foco:

#h = -15 #

Sustituyendo estos valores en la ecuación 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - -15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Simplificando un poco:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Responder:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Explicación:

Parábola es el lugar de un punto, que se mueve de modo que su distancia desde una línea, llamada directix, y un punto, llamado enfoque, sean iguales.

Sabemos que la distancia entre dos puntos. # (x_1, y_1) # y # x_2, y_2) # es dado por #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # y

la distancia entre el punto # (x_1, y_1) # y linea # ax + by + c = 0 # es # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Ahora distancia de un punto # (x, y) # en parábola de enfoque en #(-15,-19)# es #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

y su distancia de directriz # y = -8 # o # y + 8 = 0 # es # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Por lo tanto, la ecuación de la parábola sería

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # o

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # o

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # o

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

gráfica {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56.5, 23.5, -35.28, 4.72}