¿Cuál es la ecuación de la parábola que tiene un vértice en (7, 9) y pasa por el punto (0, 2)?

Responder:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Explicación:

Este problema requiere que entendamos cómo una función se puede desplazar y estirar para cumplir con parámetros específicos. En este caso, nuestra función básica es #y = x ^ 2 #. Esto describe una parábola que tiene su vértice en #(0,0)#. Sin embargo podemos expandirlo como:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

En la situación más básica:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Pero al alterar estas constantes, podemos controlar la forma y la posición de nuestra parábola. Comenzaremos con el vértice. Como sabemos, tiene que estar en #(7,9)# Tenemos que cambiar la parábola por defecto a la derecha por #7# y arriba por #9#. Eso significa manipular el #segundo# y #do# parámetros:

Obviamente #c = 9 # porque eso significará todo # y # los valores aumentarán en #9#. Pero menos obviamente, #b = -7 #. Esto se debe a que cuando agregamos un factor a la #X# Término, el cambio será opuesto a ese factor. Podemos ver eso aquí:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Cuando agregamos #segundo# a #X#, movemos el vértice a #-segundo# en el #X# dirección.

Así que nuestra parábola hasta ahora es:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Pero hay que estirarlo para pasar por el punto. #(0,2)#. Esto es tan simple como conectar esos valores:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Eso significa que nuestra parábola tendrá esta ecuación:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #