¿Cómo encuentras el límite de (ln x) ^ (1 / x) a medida que x se acerca al infinito?

Responder:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Explicación:

Comenzamos con un truco bastante común cuando se trata de exponentes variables. Podemos tomar el registro natural de algo y luego elevarlo como el exponente de la función exponencial sin cambiar su valor, ya que se trata de operaciones inversas, pero nos permite usar las reglas de los registros de manera beneficiosa.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Usando la regla exponencial de logs:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Note que es el exponente que varía según # xrarroo # para que podamos enfocarnos en ella y mover la función exponencial afuera:

# = exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Si observa el comportamiento de la función de registro natural, notará que cuando x tiende a infinito, el valor de la función también tiende a infinito, aunque muy lentamente. Cuando tomamos #ln (ln (x)) # tenemos una variable dentro de la función de registro que tiende a infinito muy lentamente, lo que significa que tenemos una función general que tiende a infinito EXTREMADAMENTE lentamente. La siguiente gráfica solo varía hasta # x = 1000 # pero demuestra el crecimiento extremadamente lento de #ln (ln (x)) # incluso en comparación con el lento crecimiento de #ln (x) #.

De este comportamiento, podemos inferir que #X# exhibirá un crecimiento asintótico mucho más rápido y, por lo tanto, el límite del exponente será cero. #color (azul) ("Esto significa que el límite general = 1.") #

También podemos abordar este punto con la regla de L'hopital. Necesitamos el límite para estar en forma indeterminada, es decir # 0/0 o oo / oo # Así que comprobamos que este es el caso:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Este es de hecho el caso por lo que el límite se convierte en:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x))) / (d / (dx) x))) #

Para diferenciar #y = ln (ln (x)) # Reconocemos que tenemos #y (u (x)) # y usa la regla de la cadena

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) implica (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) implica (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

# por lo tanto (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivado de #X# es #1#. El límite se convierte en:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

Hemos abordado que ambas funciones en el denominador tienden a infinito, por lo que tenemos

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #