Responder:
Local: #x = -2, 0, 2 #
Global: #(-2, -32), (2, 32)#
Explicación:
Para encontrar los extremos, solo encuentras puntos donde #f '(x) = 0 # o es indefinido. Asi que:
# d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 #
Para hacer de esto un problema de la regla de poder, reescribiremos # 48 / x # como # 48x ^ -1 #. Ahora:
# d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 #
Ahora, solo tomamos este derivado. Terminamos con:
# 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 #
Pasando de los exponentes negativos a las fracciones de nuevo:
# 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 #
Ya podemos ver donde ocurrirá uno de nuestros extremos: #f '(x) # no está definido en #x = 0 #, debido a la # 48 / x ^ 2 #. Por lo tanto, ese es uno de nuestros extremos.
A continuación, resolvemos para el otro (s). Para empezar, multiplicamos ambos lados por # x ^ 2 #, solo para librarnos de la fracción:
# 3x ^ 4 - 48 = 0 #
# => x ^ 4 - 16 = 0 #
# => x ^ 4 = 16 #
# => x = ± 2 #
Tenemos 3 lugares donde ocurren los extremos: #x = 0, 2, -2 #. Para descubrir cuáles son nuestros extremos globales (o absolutos), los conectamos a la función original:
Entonces nuestro mínimo absoluto es el punto #(-2, -32)#, mientras que nuestro máximo absoluto es #(2, -32)#.
Espero que ayude:)
