¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

No encontré puntos de silla de montar, pero había un mínimo:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Para encontrar los extremos, tomar la derivada parcial con respecto a #X# y # y # para ver si ambas derivadas parciales pueden igualar simultáneamente #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Si simultáneamente deben ser iguales #0#, forman un sistema de ecuaciones:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Esta lineal Sistema de ecuaciones, cuando se resta para cancelar # y #, da:

# 3x - 1 = 0 => color (verde) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => color (verde) (y = -2/3) #

Como las ecuaciones eran lineales, solo había un punto crítico, y por lo tanto solo un extremo. La segunda derivada nos dirá si fue un máximo o un mínimo.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Estos segundos parciales están de acuerdo, por lo que el gráfico es cóncavo, a lo largo de la #X# y # y # hachas

El valor de #f (x, y) # en el punto crítico es (volviendo a conectar con la ecuación original):

#color (verde) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = color (verde) (- 1/3) #

Por lo tanto, tenemos una mínimo de #color (azul) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Ahora, para el derivados cruzados para comprobar si hay puntos de silla de montar que podrían estar en una dirección diagonal:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Dado que ambos están de acuerdo también, en lugar de ser signos opuestos, hay ningún punto de silla.

Podemos ver cómo se ve este gráfico solo para verificar: