¿Cuáles son los extremos de f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 en [-oo, oo]?

Responder:

#f (x) # tiene un mínimo en # x = 2 #

Explicación:

Antes de continuar, tenga en cuenta que se trata de una parábola orientada hacia arriba, lo que significa que podemos saber sin más cálculos que no tendrá máximos, y un solo mínimo en su vértice. Completar la plaza nos mostraría que #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, dando el vértice, y por lo tanto el único mínimo, en #x = 2 #. Sin embargo, veamos cómo se haría esto con el cálculo.

Cualquier extremo ocurrirá en un punto crítico o en un punto final del intervalo dado. Como nuestro intervalo dado de # (- oo, oo) # está abierto, podemos ignorar la posibilidad de puntos finales, por lo que primero identificaremos los puntos críticos de la función, es decir, el punto en el cual la derivada de la función es #0# o no existe.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Estableciendo esto igual a #0#, nos encontramos con un punto crítico en # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Ahora, podemos hacer una prueba para ver si es un extremo (y de qué tipo) al verificar algunos valores de #F# alrededor de ese punto, o utilizando la segunda prueba derivada. Vamos a utilizar este último.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Como #f '' (2) = 6> 0 #, la segunda prueba derivativa nos dice que #f (x) # tiene un mínimo local en # x = 2 #

Por lo tanto, utilizando #f '(x) # y #f '' (x) #, encontramos eso #f (x) # tiene un mínimo en # x = 2 #, coincidiendo con el resultado que encontramos utilizando el álgebra.