Responder:
El punto # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) aprox (1.26694,1.16437) # Es un punto mínimo local.
Explicación:
Las derivadas parciales de primer orden son # (parcial f) / (parcial x) = y-3x ^ {- 4} # y # (parcial f) / (parcial y) = x-2y ^ {- 3} #. Establecer estos dos resultados iguales a cero en el sistema # y = 3 / x ^ (4) # y # x = 2 / y ^ {3} #. Subtitulando la primera ecuación en la segunda da # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Ya que #x! = 0 # en el dominio de #F#, esto resulta en # x ^ {11} = 27/2 # y # x = (27/2) ^ {1/11} # así que eso # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Las derivadas parciales de segundo orden son # (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (parcial ^ {2} f) / (parcial y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #y # (parcial ^ {2} f) / (parcial x parcial y) = (parcial ^ {2} f) / (parcial y parcial x) = 1 #.
El discriminante es por lo tanto # D = (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) * (parcial ^ {2} f) / (parcial y ^ {2}) - ((parcial ^ {2} f) / (parcial x parcial y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Esto es positivo en el punto crítico.
Dado que las derivadas parciales puras (no mezcladas) de segundo orden también son positivas, se deduce que el punto crítico es un mínimo local.
