Dos números difieren en 3. La suma de sus recíprocos es siete décimas. ¿Cómo encuentras los números?

Responder:

Hay dos soluciones a un problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Explicación:

Este es un problema típico que se puede resolver utilizando un sistema de dos ecuaciones con dos variables desconocidas.

Deje que la primera variable desconocida sea #X# y el segundo # y #.

La diferencia entre ellos es #3#, lo que resulta en la ecuación:

(1) # x-y = 3 #

Sus reciprocas son # 1 / x # y # 1 / y #, cuya suma es #7/10#, lo que resulta en la ecuación:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Por cierto, la existencia de recíprocos requiere las restricciones:

#x! = 0 # y #y! = 0 #.

Para resolver este sistema, utilicemos el método de sustitución.

Desde la primera ecuación podemos expresar #X# en términos de # y # y sustituir en la segunda ecuación.

De la ecuación (1) podemos derivar:

(3) #x = y + 3 #

Sustitúyelo en la ecuación (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Por cierto esto requiere otra restricción:

# y + 3! = 0 #, es decir #y! = - 3 #.

Usando el denominador común # 10y (y + 3) # y considerando solo los numeradores, transformamos la ecuación (4) en:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Esta es una ecuación cuadrática que se puede reescribir como:

# 20y + 30 = 7y ^ 2 + 21y # o

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Dos soluciones a esta ecuación son:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

o

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Entonces, tenemos dos soluciones para # y #:

# y_1 = 2 # y # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Correspondientemente, utilizando # x = y + 3 #Concluimos que hay dos soluciones para un sistema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

En ambos casos #X# es mayor que # y # por #3#, por lo que se cumple la primera condición de un problema.

Veamos la segunda condición:

(a) para una solución # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - revisado

(b) para una solución # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - revisado

Ambas soluciones son correctas.