Tenemos:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Paso 2 - Identificar los puntos críticos
Un punto crítico ocurre en una solución simultánea de
# f_x = f_y = 0 iff (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 #
es decir, cuando:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # simultaneamente
A partir de lo cual podemos establecer:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Por lo tanto requerimos que:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Entonces tenemos dos soluciones (plano infinito):
#:. x = + - y #
Y así llegamos a la conclusión de que hay infinitos puntos críticos a lo largo de toda la intersección de la curva y los dos planos.
Paso 3 - Clasificar los puntos críticos.
Para clasificar los puntos críticos, realizamos una prueba similar a la de un cálculo variable utilizando las segundas derivadas parciales y la matriz de Hesse.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parcial ^ 2 f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2 f) / (parcial x parcial y)), ((parcial ^ 2 f) / (parcial y parcial x), (parcial ^ 2 f) / (parcial y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Entonces dependiendo del valor de
# {: (Delta> 0, "Hay un máximo si" f_ (xx) <0), (, "y un mínimo si" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "hay un punto de silla"), (Delta = 0, "Se necesita más análisis"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Necesitamos considerar el signo de
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Entonces, dependiendo de la señal
Aquí hay una gráfica de la función.
Y aquí hay una gráfica de la función que incluye los planos.
