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#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Explicación:
Para que este problema tenga sentido # 4-9x ^ 2> = 0 #, asi que # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Por eso podemos elegir un # 0 <= u <= pi # tal que # x = 2 / 3cosu #. Usando esto, podemos subsituir la variable x en la integral usando # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # aquí usamos eso # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # y eso por # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Ahora usamos la integración por partes para encontrar # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Por lo tanto # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Así que hemos encontrado #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, ahora sustituimos #X# De vuelta por # u #, utilizando # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, asi que #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Podemos simplificar aún más esto utilizando la definición de senos y cosenos en términos de triángulos. Para un triángulo rectángulo con un ángulo. # u # en una de las esquinas no derechas, # sinu = "lado opuesto" / "lado más largo" #, mientras # cosu = "lado adyacente" / "lado más largo" #, ya que sabemos # cosu = (3x) / 2 #, podemos escoger el lado adyacente para ser # 3x # y el lado mas largo para estar #2#. Usando el teorema de Pitágoras, encontramos que el lado opuesto es #sqrt (4-9x ^ 2) #, asi que #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Por lo tanto #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
