¿Cuándo usas la fórmula de Heron para encontrar el área?

Puede usarlo siempre que sepa las longitudes de los tres lados de un triángulo.

Espero que esto haya sido útil.

Responder:

La fórmula de Heron es casi siempre la fórmula incorrecta de usar; prueba el teorema de Arquímedes para un triángulo con área #UNA# y lados #a B C#:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # dónde # s = 1/2 (a + b + c) #

Esta última es la garza finamente velada.

Explicación:

Héroe de Alejandría escribió en el siglo I d. ¿Por qué seguimos torturando a los estudiantes con su resultado cuando hay equivalentes modernos mucho mejores que no tengo ni idea?

Fórmula de Heron para el área. #UNA# de un triangulo con lados #a B C# es

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dónde # s = 1/2 (a + b + c) # es el semiperimetro.

No hay duda de que esta fórmula es genial. Pero es incómodo de usar debido a la fracción y, si partimos de las coordenadas, las cuatro raíces cuadradas.

Vamos a hacer los cálculos. Cuadramos y eliminamos # s # que en su mayoría sirve para ocultar una #16# Y una factorización importante. Es posible que desee intentarlo usted mismo primero.

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Eso ya es mucho mejor que la forma de Heron. Guardamos la fracción hasta el final y no hay más dudas sobre el significado del semiperímetro.

El caso degenerado es revelador. Cuando uno de esos factores con un signo menos es cero, es cuando dos lados se suman exactamente al otro lado. Esas son distancias entre tres puntos colineales, el triángulo degenerado, y obtenemos área cero. Tiene sentido.

los # a + b + c # El factor es interesante. Lo que nos dice es que esta fórmula aún funciona si usamos desplazamientos, longitudes firmadas, en lugar de todo positivo.

La fórmula aún es incómoda de usar coordenadas dadas. Vamos a multiplicarlo; es posible que desee intentarlo usted mismo;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Esa forma depende solo de los cuadrados de las longitudes. Es claramente totalmente simétrico. Podemos ir más allá de Heron ahora y decir si el longitudes cuadradas Son racionales, así es el área cuadrada.

Pero podemos hacerlo mejor si notamos

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Restando,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Esa es la forma más bonita.

Hay una forma de apariencia asimétrica que suele ser la más útil. Nosotros notamos

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Agregando esto a

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Esa es la forma más útil. Realmente hay tres formas de escribirlo, cambiando de lado.

En conjunto, estos se denominan Teorema de Arquímedes, de la Trigonometría racional de NJ Wildberger.

Cuando se dan las coordenadas 2D, a menudo la Fórmula Shoelace es la ruta más rápida al área, pero la guardaré para otras publicaciones.