¿Cuáles son los puntos extremos y de asiento de f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Responder:

Esta función tiene sin puntos estacionarios (estás seguro que #f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x # es el que querías estudiar?

Explicación:

Según la definición más difundida de puntos de silla (puntos estacionarios que no son extremos), está buscando los puntos estacionarios de la función en su dominio # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) en RR ^ 2} #.

Ahora podemos reescribir la expresión dada para #F# de la siguiente manera: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x #

La forma de identificarlos es buscar los puntos que anulan el gradiente de #F#, que es el vector de las derivadas parciales:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Dado que el dominio es un conjunto abierto, no es necesario buscar extremos que se encuentren en el límite, porque los conjuntos abiertos no contienen puntos de límite.

Así que vamos a calcular el gradiente de la función:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Esto es nulo cuando las siguientes ecuaciones se satisfacen simultáneamente:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

Podemos convertir el segundo en # y = 1 / (2x ^ 3) # y sustituirlo en el primero para obtener

# 14x + 2x (1 / (2x ^ 3)) ^ 2+ (1 / (2x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2x ^ 5) + 1 / (2x ^ 5) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Esto no puede ser satisfecho por #x en RR #, por lo que el gradiente nunca es nulo en el dominio. ¡Esto significa que la función no tiene puntos estacionarios!