Los radios de dos círculos concéntricos son 16 cm y 10 cm. AB es un diámetro del círculo más grande. BD es tangente al círculo más pequeño que lo toca en D. ¿Cuál es la longitud de AD?

Responder:

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicación:

Adoptando el origen #(0,0)# como el centro común para # C_i # y # C_e # y llamando # r_i = 10 # y # r_e = 16 # el punto de tangencia # p_0 = (x_0, y_0) # está en la intersección #C_i nn C_0 # dónde

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

aquí # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Resolviendo para #C_i nn C_0 # tenemos

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Restar la primera de la segunda ecuación

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # asi que

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # y # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Finalmente la distancia buscada es

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

o

#bar (AD) = 23.5797 #

Explicación:

Si #bar (BD) # es tangente a # C_i # entonces #hat (ODB) = pi / 2 # para que podamos aplicar pitágoras:

#bar (OD) ^ 2 + barra (DB) ^ 2 = barra (OB) ^ 2 # determinando # r_0 #

# r_0 ^ 2 = barra (OB) ^ 2-barra (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

El punto #RE# coordenadas, llamadas # (x_0, y_0) # Se debe obtener antes de calcular la distancia buscada. #bar (AD) #

Hay muchas maneras de hacer eso. Un método alternativo es

# y_0 = barra (BD) sin (hat (OBD)) # pero #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

entonces

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # y

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Según los datos dados se dibuja la figura anterior.

O es el centro común de dos círculos concéntricos.

#AB -> "diámetro del círculo más grande" #

# AO = OB -> "radio del círculo más grande" = 16 cm #

#DO -> "radio del círculo más pequeño" = 10cm #

#BD -> "tangente al círculo más pequeño" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Dejar # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

En #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Aplicando la ley de coseno en #Delta ADO # obtenemos

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #