Las dos esquinas de un triángulo tienen ángulos de (2 pi) / 3 y (pi) / 4. Si un lado del triángulo tiene una longitud de 4, ¿cuál es el perímetro más largo posible del triángulo?

Responder:

# P_max = 28.31 # unidades

Explicación:

El problema te da dos de los tres ángulos en un triángulo arbitrario. Dado que la suma de los ángulos en un triángulo debe sumar hasta 180 grados, o #Pi# Radianes, podemos encontrar el tercer ángulo:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Dibujemos el triángulo:

El problema indica que uno de los lados del triángulo tiene una longitud de 4, pero no especifica qué lado. Sin embargo, en cualquier triángulo dado, es cierto que pequeñísimo El lado será opuesto al ángulo más pequeño.

Si queremos maximizar el perímetro, debemos hacer que el lado con la longitud 4 sea el lado opuesto al ángulo más pequeño. Dado que los otros dos lados serán más grandes que 4, garantiza que maximizaremos el perímetro. Por lo tanto, nuestro triángulo se convierte en:

Finalmente, podemos usar el ley de los senos para encontrar las longitudes de los otros dos lados:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Al enchufar, obtenemos:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Resolviendo para x y y obtenemos:

# x = 10.93 # y # y = 13.38 #

Por lo tanto, el perímetro máximo es:

# P_max = 4 + 10.93 + 13.38 #

# P_max = 28.31 #

Nota: Dado que el problema no especifica las unidades de longitud en el triángulo, solo use "unidades".