De los 7 boletos de lotería, 3 son boletos premiados. Si alguien compra 4 boletos, ¿cuál es la probabilidad de ganar al menos dos premios?

Responder:

# P = 22/35 #

Explicación:

Entonces tenemos #3# ganando y #4# entradas no ganadoras entre #7# Entradas disponibles.

Separemos el problema en cuatro casos independientes mutuamente excluyentes:

(a) hay #0# ganando boletos entre esos #4# compró

(así que todo #4# Los boletos comprados son de un grupo de #4# entradas no ganadoras)

(b) hay #1# boleto ganador entre aquellos #4# compró

(asi que, #3# Los boletos comprados son de un grupo de #4# entradas no ganadoras y #1# el boleto es de un grupo de #3# entradas ganadoras)

(c) hay #2# ganando boletos entre esos #4# compró

(asi que, #2# Los boletos comprados son de un grupo de #4# entradas no ganadoras y #2# las entradas son de un grupo de #3# entradas ganadoras)

(d) hay #3# ganando boletos entre esos #4# compró

(asi que, #1# El boleto comprado es de un grupo de #4# entradas no ganadoras y #3# las entradas son de un grupo de #3# entradas ganadoras)

Cada uno de los eventos anteriores tiene su propia probabilidad de ocurrencia.Estamos interesados en los eventos (c) y (d), la suma de las probabilidades de su aparición es de lo que trata el problema. Estos dos eventos independientes constituyen el evento "ganar al menos dos premios". Dado que son independientes, la probabilidad de un evento combinado es la suma de sus dos componentes.

La probabilidad del evento (c) se puede calcular como una proporción del número de combinaciones de #2# Los boletos comprados son de un grupo de #4# entradas no ganadoras y #2# las entradas son de un grupo de #3# entradas ganadoras (#Carolina del Norte#) al número total de combinaciones de #4# fuera de #7# (NORTE).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

El numerador #Carolina del Norte# es igual al número de combinaciones de #2# ganando entradas fuera de #3# disponible # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # multiplicado por el número de combinaciones de #2# entradas no ganadoras de #4# disponible # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Entonces, el numerador es

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

El denominador es

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Entonces, la probabilidad de evento (c) es

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Del mismo modo, para el caso (d) tenemos

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

El total de probabilidades de eventos (c) y (d) es

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #