El cuarto poder de la diferencia común de una progresión aritmética es que las entradas de números enteros se agregan al producto de cuatro términos consecutivos de la misma. ¿Demostrar que la suma resultante es el cuadrado de un entero?

Dejemos que la diferencia común de un AP de enteros sea # 2d #.

Cualquiera de los cuatro términos consecutivos de la progresión se puede representar como # a-3d, a-d, a + d y a + 3d #, dónde #una# es un entero

Así que la suma de los productos de estos cuatro términos y la cuarta potencia de la diferencia común # (2d) ^ 4 # estarán

# = color (azul) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + color (rojo) ((2d) ^ 4) #

# = color (azul) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + color (rojo) (16d ^ 4) #

# = color (azul) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + color (rojo) (16d ^ 4) #

# = color (verde) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = color (verde) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, que es un cuadrado perfecto.

Los términos segundo, sexto y octavo de una progresión aritmética son tres términos sucesivos de un Geometric.P. ¿Cómo encontrar la proporción común de G.P y obtener una expresión para el término nth del G.P?

¡Mi método lo resuelve! Reescritura total r = 1/2 "" => "" a_n = a_1 (1/2) ^ (n-1) Para hacer obvia la diferencia entre las dos secuencias, estoy usando la siguiente notación: a_2 = a_1 + d "" -> "" tr ^ 0 "" ............... Eqn (1) a_6 = a_1 + 5d "" -> "" tr "" ........ ........ Eqn (2) a_8 = a_1 + 7d "" -> "" tr ^ 2 "" ............... Eqn (3) ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Eqn (2) -Eqn (1) a_1 + 5d = tr ul (a_1 + color (blanco) (5) d = t larr "Restar" ""

¿El producto de cuatro enteros consecutivos es divisible entre 13 y 31? ¿Cuáles son los cuatro enteros consecutivos si el producto es lo más pequeño posible?

Como necesitamos cuatro enteros consecutivos, necesitaríamos que el LCM sea uno de ellos. LCM = 13 * 31 = 403 Si queremos que el producto sea lo más pequeño posible, tendríamos que los otros tres enteros sean 400, 401, 402. Por lo tanto, los cuatro enteros consecutivos son 400, 401, 402, 403. Esperemos que esto ayuda!

Tom escribió 3 números naturales consecutivos. De la suma cúbica de estos números, tomó el producto triple de esos números y lo dividió por el promedio aritmético de esos números. ¿Qué número escribió Tom?

El número final que escribió Tom fue el color (rojo). 9 Nota: gran parte de esto depende de mi comprensión correcta del significado de varias partes de la pregunta. 3 números naturales consecutivos asumo que esto podría representarse por el conjunto {(a-1), a, (a + 1)} para algunos a en NN la suma de estos números. Supongo que esto podría representarse como color (blanco) ( "XXX") (a-1) ^ 3 + a ^ 3 + (a + 1) ^ 3 color (blanco) ("XXXXX") = a ^ 3-3a ^ 2 + 3a-1 color (blanco) (" XXXXXx ") + a ^ 3 color (blanco) (" XXXXXx ") ul (+ a ^ 3 + 3a ^ 2 + 3a +