¿Cuál es el rango de y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Primero consideremos el dominio:

Para que valores de #X# ¿Está definida la función?

El numerador # (1-x) ^ (1/2) # solo se define cuando # (1-x)> = 0 #. Añadiendo #X# a ambos lados de esto encuentras #x <= 1 #.

También requerimos que el denominador sea distinto de cero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # es cero cuando #x = -1 / 2 # y cuando #x = -1 #.

Así que el dominio de la función es

# {x en RR: x <= 1 y x! = -1 y x! = -1/2} #

Definir #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # en este dominio

Consideremos cada intervalo continuo en el dominio por separado:

En cada caso, dejemos #epsilon> 0 # Ser un pequeño número positivo.

Caso (a): #x <-1 #

Para grandes valores negativos de #X#, #f (x) # Es pequeño y positivo.

En el otro extremo de este intervalo, si #x = -1 - épsilon # entonces

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # como #epsilon -> 0 #

Entonces para #x <-1 # el rango de #f (x) # es # (0, + oo) #

Caso (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + épsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # como #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Entonces para # -1 / 2 <x <= 1 # el rango de #f (x) # es # 0, + oo) #

Caso (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # como #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # como #epsilon -> 0 #

Entonces la pregunta interesante es ¿cuál es el valor máximo de #f (x) # en este intervalo Para encontrar el valor de #X# para lo que esto ocurre busque el derivado que sea cero.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Esto será cero cuando el numerador sea cero, por lo que nos gustaría resolver:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Multiplicar por # 2 (1-x) ^ (1/2) # Llegar:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Es decir:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

que tiene raices # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

De estas raíces, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # Cae en el intervalo en cuestión.

Sustituye esto de nuevo en #f (x) # para encontrar el máximo de #f (x) en este intervalo (aproximadamente -10).

Esto me parece demasiado complejo. ¿He cometido algún error?

Responder: El rango de la función es # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

por #x en (-oo, -1) # #-># #y en (0, oo) #

por #x en (-1, -0.5) # #-># #y en (-oo, -10.58 #

por #x en (-0.5, 1 # #-># #y en 0, oo) #