¿Cuál es la fórmula general para discriminar un polinomio de grado n?

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Explicación:

El discriminante de un polinomio. #f (x) # de grado #norte# se puede describir en términos del determinante de la matriz de Sylvester de #f (x) # y #f '(x) # como sigue:

Dado:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Tenemos:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

La matriz de Sylvester de #f (x) # y #f '(x) # es un # (2n-1) xx (2n-1) # matriz formada usando sus coeficientes, similar al siguiente ejemplo para # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Entonces el discriminante #Delta# se da en términos del determinante de la matriz de Sylvester por la fórmula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

por # n = 2 # tenemos:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(que puede encontrar más reconocible en la forma #Delta = b ^ 2-4ac #)

por # n = 3 # tenemos:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (blanco) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Los discriminantes para cuadráticas (# n = 2 #) y cúbicos (# n = 3 #son los más útiles porque le dicen exactamente cuántos ceros complejos reales, repetidos o no reales tiene un polinomio.

La interpretación del discriminante para polinomios de orden superior es más limitada, pero siempre tiene la propiedad de que el polinomio ha repetido ceros si y solo si el discriminante es cero.

#color blanco)()#

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