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Explicación:
Un vector que es ortogonal (perpendicular, norma) a un plano que contiene dos vectores también es ortogonal a los vectores dados. Podemos encontrar un vector que sea ortogonal a ambos vectores dados tomando su producto cruzado. Entonces podemos encontrar un vector unitario en la misma dirección que ese vector.
Dado
Para el
#(12*-7)-(14*3)=-84-42=-126#
Para el
#-(8*-7)-(2*14)=--56-28=84#
Para el
#(8*3)-(12*2)=24-24=0#
Nuestro vector normal es
Ahora, para hacer de este un vector unitario, dividimos el vector por su magnitud. La magnitud viene dada por:
# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt ((- 126) ^ 2 + (84) ^ 2 + (0) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt (15878 + 7056 + 0) = sqrt (22932) = 42sqrt (13) #
El vector unitario viene dado por:
# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) #
#vecu = (<-126,84,0>) / (42sqrt (13)) #
# vecu = 1 / (42sqrt (13)) <-126,84,0> #
o equivalente,
# vecu = <-3 / (sqrt (13)), 2 / (sqrt (13)), 0> #
También puedes optar por racionalizar el denominador:
# vecu = <(-3sqrt (13)) / 13, (2sqrt (13)) / 13, 0> #
¿Cuál es el vector unitario que es ortogonal al plano que contiene (i + j - k) y (i - j + k)?
Sabemos que si vec C = vec A × vec B entonces vec C es perpendicular a vec A y vec B Entonces, lo que necesitamos es simplemente encontrar el producto cruzado de los dos vectores dados. Entonces, (hati + hatj-hatk) × (hati-hatj + hatk) = - hatk-hatj-hatk + hati-hatj-i = -2 (hatk + hatj) Por lo tanto, el vector unitario es (-2 (hatk + hatj)) / (sqrt (2 ^ 2 + 2 ^ 2)) = - (hatk + hatj) / sqrt (2)
¿Cuál es el vector unitario que es ortogonal al plano que contiene <0, 4, 4> y <1, 1, 1>?
La respuesta es = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉 El vector que es perpendicular a otros 2 vectores viene dado por el producto cruzado. 〈0,4,4〉 x 〈1,1,1〉 = | (hati, hatj, hatk), (0,4,4), (1,1,1) | = hati (0) -hatj (-4) + hatk (-4) = 〈0,4, -4〉 Verificación al hacer los productos de puntos 〈0,4,4〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 16-16 = 0 〈1,1,1〉. 〈0,4, -4〉 = 0 + 4-4 = 0 El módulo de 〈0,4, -4〉 es = 〈0,4, - 4〉 = sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt32 = 4sqrt2 El vector unitario se obtiene dividiendo el vector por el módulo = 1 / (4sqrt2) 〈0,4, -4〉 = 〈0,1 / sqrt2, -1 / sqrt2〉
¿Cuál es el vector unitario que es ortogonal al plano que contiene (8i + 12j + 14k) y (2i + j + 2k)?
Se requieren dos pasos: tomar el producto cruzado de los dos vectores. Normalice ese vector resultante para convertirlo en un vector unitario (longitud de 1). El vector unitario, entonces, viene dado por: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt500j-16 / sqrt500k) 1. El producto cruzado viene dado por: (8i + 12j + 14k) xx (2i + j + 2k) = ( 12 * 2-14 * 1) i + (14 * 2-8 * 2) j + (8 * 1-12 * 2) k) = (10i + 12j-16k) Para normalizar un vector, encuentre su longitud y divida cada coeficiente por esa longitud. r = sqrt (10 ^ 2 + 12 ^ 2 + (- 16) ^ 2) = sqrt500 ~~ 22.4 El vector unitario, entonces, está dado por: (10 / sqrt500i + 12 / sqrt5