¿Cuál es el nuevo Método de Transformación para resolver ecuaciones cuadráticas?

Digamos por ejemplo que tienes …

# x ^ 2 + bx #

Esto se puede transformar en:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Averigüemos si la expresión anterior se traduce de nuevo en # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

La respuesta es sí.

Ahora, es importante tener en cuenta que # x ^ 2-bx # (note el signo menos) se puede transformar en:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Lo que estás haciendo aquí es completando el cuadrado. Puedes resolver muchos problemas cuadráticos completando el cuadrado.

Aquí hay un ejemplo primario de este método en acción:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

La famosa fórmula cuadrática puede ser derivada por completando el cuadrado.

El nuevo Método de Transformación para resolver ecuaciones cuadráticas.

CASO 1. Tipo de solucion # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Resolver significa encontrar 2 números sabiendo su suma (#-segundo#) y su producto (#do#). El nuevo método compone pares de factores de#do#), y al mismo tiempo, aplica la Regla de Signos. Entonces, encuentra el par cuya suma es igual a (#segundo#) o#-segundo#).

Ejemplo 1. Resolver # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Solución. Componer pares de factores de #c = -102 #. Las raíces tienen signos diferentes. Proceder: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# La ultima suma # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Entonces las 2 raíces reales son: #-6# y #17#. Sin factorizar por agrupación.

CASO 2. Resolución de tipo estándar: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

El nuevo método transforma esta ecuación (1) a: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Resuelve la ecuación (2) como hicimos en el CASO 1 para obtener las 2 raíces reales # y_1 # y # y_2 #. A continuación, divide # y_1 # y # y_2 # por el coeficiente a para obtener las 2 raíces reales # x_1 # y # x_2 # de ecuación original (1).

Ejemplo 2. Resolver # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Ecuación transformada: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Resuelve la ecuación (2). Ambas raíces son positivas (Regla de Signos). Componer pares de factores de # a * c = 240 #. Proceder: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Esta última suma es # (5 + 48 = 53 = -b) #. Entonces, las 2 raíces reales son: # y_1 = 5 # y

# y_2 = 48 #. De vuelta a la ecuación original (1), las 2 raíces reales son: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # y # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Sin factorización y resolución de binomios.

Las ventajas del nuevo Método de transformación son: simple, rápido, sistemático, sin adivinar, sin factorizar por agrupación y sin resolver binomios.