¿Qué es un espacio de Hilbert? + Ejemplo

El espacio de Hilbert es un conjunto de elementos con ciertas propiedades, a saber:

es un espacio vectorial (entonces, hay operaciones en sus elementos típicos de los vectores, como la multiplicación por un número real y una suma que satisfacen las leyes conmutativas y asociativas);

hay un producto escalar (a veces llamado interior o punto) entre dos elementos que resultan en un número real.

Por ejemplo, nuestro espacio euclidiano tridimensional es un ejemplo de un espacio de Hilbert con un producto escalar de # x = (x_1, x_2, x_3) # y # y = (y_1, y_2, y_3) # igual a # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Un ejemplo más interesante es un espacio de todas las funciones continuas en un segmento # a, b # con un producto escalar definido como

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

En física cuántica, el espacio de Hilbert desempeña un papel muy importante como una función que describe el estado de un sistema. #Psi# Es un elemento de un espacio de Hilbert.

Yo puedo recomendar

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

como una introducción al uso del espacio de Hilbert en la física cuántica.