¿Cuál es la ecuación de forma estándar de la parábola con una directriz de x = 5 y enfoque en (11, -7)?

Responder:

La forma estándar es:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Explicación:

Porque la directriz es una línea vertical, #x = 5 #, la forma de vértice para la ecuación de la parábola es:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

donde (h, k) es el vértice y #f es la distancia horizontal con signo desde el vértice al foco.

Sabemos que la coordenada y, k, del vértice es la misma que la coordenada y del foco:

#k = -7 #

Sustituye -7 por k en la ecuación 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Sabemos que la coordenada x del vértice es el punto medio entre la coordenada x del foco y la coordenada x de la directriz:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Sustituye 8 por h en la ecuación 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

La distancia focal es la distancia horizontal firmada desde el vértice al foco:

#f = x_ "enfocar" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Sustituye 3 por f en la ecuación 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Multiplicaremos el denominador y escribiremos - como +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Expandir el cuadrado:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Distribuir el #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Combina los términos constantes:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Responder:

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Explicación:

Directora # x = 5 #

Atención #(11, -7)#

A partir de esto podemos deducir el vértice.

Mira el diagrama

El vértice se encuentra exactamente entre Directrix y Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

La distancia entre el foco y el vértice es # a = 3 #

La parábola se abre hacia la derecha.

La ecuación de la parábola aquí es -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (h, k) # es el vértice

# h = 8 #

# k = -7 #

Enchufar # h = 8; k = -7 y a = 3 # en la ecuación

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # por transposición

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #