¿Cómo encuentras el límite de sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) a medida que x se acerca a -oo?

Responder:

Hacer un poco de factoring para conseguir #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Explicación:

Cuando tratamos los límites en el infinito, siempre es útil factorizar un #X#, o un # x ^ 2 #, o cualquier poder de #X# simplifica el problema Para este, vamos a factorizar una # x ^ 2 # desde el numerador y una #X# del denominador:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Aquí es donde empieza a ponerse interesante. por #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # es positivo; sin embargo, por #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # es negativo En términos matemáticos:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # para #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # para #x <0 #

Ya que estamos tratando con un límite en el infinito negativo, #sqrt (x ^ 2) # se convierte en #-X#:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Ahora podemos ver la belleza de este método: tenemos un # 9 / x ^ 2 # y # 6 / x #, los cuales irán a #0# como #X# va al infinito negativo:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #