¿Cómo encuentras el límite de (arctan (x)) / (5x) a medida que x se acerca a 0?

Responder:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Explicación:

Para encontrar este límite, observe que tanto el numerador como el denominador van a #0# como #X# enfoques #0#. Esto significa que obtendríamos una forma indeterminada, por lo que podemos aplicar la regla de L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Al aplicar la regla de L'Hospital, tomamos el derivado del numerador y denominador, dándonos

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

También podemos verificar esto graficando la función, para tener una idea de qué #X# enfoques.

Gráfico de #arctan x / (5x) #:

gráfica {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Responder:

A continuación se explica un enfoque más largo utilizando trigonometría.

Explicación:

En caso de que no se sienta cómodo con la Regla de L'Hopital, o no haya sido expuesto a ella, otro enfoque para resolver el problema implica el uso de la definición de la función arcotangente.

Recordemos que si # tantheta = x #, entonces # theta = arctanx #; esto significa esencialmente que arctangente es el reverso de la tangente. Usando esta información, podemos construir un triángulo donde # tantheta = x # y # theta = arctanx #:

Del diagrama, está claro que # tantheta = x / 1 = x #. Ya que # tantheta = sintheta / costheta #, podemos expresar esto como:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Usando esto más el hecho de que # theta = arctanx #, podemos hacer reemplazos en el límite:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Esto es equivalente a:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Lo sabemos #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; asi que #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # o #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Y desde # cos0 = 1 #, el límite se evalúa a:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#