¿Qué es f '(- pi / 3) cuando se te da f (x) = sin ^ 7 (x)?

Es # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Método

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

Es muy útil reescribir esto como #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # porque esto deja claro que lo que tenemos es un # 7 ^ (th) # función de potencia.

Use la regla de poder y la regla de la cadena (esta combinación a menudo se llama la regla de poder generalizada).

por #f (x) = (g (x)) ^ n #, el derivado es #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, En otra notación # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

En cualquier caso, por tu pregunta. #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Usted podría escribir #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

A # x = - pi / 3 #, tenemos

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "let" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "let" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Ahora, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {¿Estás de acuerdo?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

pero recuerda #u = pecado (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Tienes el honor de simplificar

NOTA:

{

preguntándome por qué estoy haciendo todo esto "dejar las cosas"?

La razón es que hay más de una función en #f (x) #

** hay: # sin ^ 7 (x) # y ahí está #sin (x) #!!

así que para encontrar el #f '(x) # necesito encontrar el #F'# de # sin ^ 7 (x) #

Y el #F'# de #sin (x) #

por eso tengo que dejar # y = f (x) #

entonces vamos #u = pecado (x) #

}