¿Cómo demuestras que sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Responder:

Hacer un poco de multiplicación conjugada, hacer uso de identidades trigonométricas y simplificar. Vea abajo.

Explicación:

Recordemos la identidad pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Divide ambos lados por # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Estaremos haciendo uso de esta importante identidad.

Centrémonos en esta expresión:

# secx + 1 #

Tenga en cuenta que esto es equivalente a # (secx + 1) / 1 #. Multiplica la parte superior e inferior por # secx-1 # (Esta técnica se conoce como multiplicación de conjugados):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Desde # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, vemos eso # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Por lo tanto, podemos reemplazar el numerador con # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Nuestro problema ahora lee:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tenemos un denominador común, por lo que podemos agregar las fracciones en el lado izquierdo:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Las tangentes se cancelan:

# (cancelar (tan ^ 2x) + 1-cancelar (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Dejándonos con:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Ya que # secx = 1 / cosx #, podemos reescribir esto como:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Sumando fracciones en el denominador, vemos:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Usando la propiedad # 1 / (a / b) = b / a #, tenemos:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Y eso completa la prueba.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (rojo) ("poniendo", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (rojo) ("poniendo", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #