¿Cuál es el dominio y el rango de la función: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Responder:

El dominio es # (- oo, oo) # y el rango #0, 1/2#

Explicación:

Dado:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Tenga en cuenta que para cualquier valor real de #X#el denominador # 1 + x ^ 4 # no es cero.

Por lo tanto #f (x) # está bien definido para cualquier valor real de #X# y su dominio es # (- oo, oo) #.

Para determinar el rango, deje que:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Multiplica ambos extremos por # 1 + x ^ 4 # Llegar:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Restando # x ^ 2 # Desde ambos lados, podemos reescribir esto como:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Esto solo tendrá soluciones reales si su discriminante no es negativo. Poniendo # a = y #, # b = -1 # y # c = y #el discriminante #Delta# es dado por:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Así que requerimos:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Por lo tanto:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Asi que # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Además tenga en cuenta que #f (x)> = 0 # para todos los valores reales de #X#.

Por lo tanto # 0 <= y <= 1/2 #

Así que el rango de #f (x) # es #0, 1/2#