¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a y = -9 / 7x que pasa a través de (3,7)?

Hola, aquí una "respuesta bastante larga", ¡pero no tengas miedo! es solo lógica, si eres capaz de hacer eso, eres capaz de gobernar el mundo, ¡promételo! dibuje en un papel y todo estará bien (dibuje sin eje, no lo necesita, solo es geometría):) lo que necesita saber: trigonometría básica, pitagoro, determinante, coordenada polar y producto escalar

Te explicaré cómo funciona detrás de escena.

Primero necesitas buscar dos puntos de la línea.

tomar #x = 2 # tienes #y = -18 / 7 #

tomar #x = 1 # y tu tienes #y = -9 / 7 #

Ok tienes dos puntos #A = (2, -18 / 7) # y #B (1, -9 / 7) # esos puntos están en la línea

Ahora quieres el vector formado por esos puntos.

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

Llamemos al punto #(3,7)# #PAG#

Ok, ahora imagina la línea que quieres que es perpendicular a la nuestra, se intersecan en un punto, llamémoslo a este punto # H # no sabemos que es # H # Y queremos saber.

sabemos dos cosas:

#vec (AP) = vec (AH) + vec (HP) #

y # vec (HP) _ | _ vec (AB) #

Añadir el determinante a ambos lados.

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (AH), vec (AB)) + det (vec (HP), vec (AB)) #

Ahora considera que #det (vec (a), vec (b)) = a * b * sin (theta) #

dónde #una# y #segundo# son la norma y # theta # el ángulo entre los dos vectores

Obviamente #det (vec (AH), vec (AB)) = 0 # porque #vec (AH) # y #vec (AB) # ¡Están en la misma línea! asi que #theta = 0 # y #sin (0) = 0 #

#det (vec (AP), vec (AB)) = det (vec (HP), vec (AB)) #

Ahora querías una línea perpendicular a la nuestra así que

#det (vec (HP), vec (AB)) = HP * AB * sin (pi / 2) = HP * AB #

Por fin hacer algun calculo

#det (vec (AP), vec (AB)) = HP * AB #

#det (vec (AP), vec (AB)) / (AB) = HP #

#vec (AP) = (3-2,7 + 18/7) = (1,67 / 7) #

#vec (AB) = (1-2, -9 / 7 + 18/7) = (-1,9 / 7) #

#det (vec (AP), vec (AB)) = 76/7 #

#AB = sqrt ((- 1) ^ 2 + (9/7) ^ 2) = sqrt (130) / 7 #

#HP = (76/7) / (sqrt (130) / 7) = 76 / sqrt (130) #

Ok, ahora usamos pythagore para tener # AH #

# (sqrt (4538) / 7) ^ 2 = (76 / sqrt (130)) ^ 2 + AH ^ 2 #

#AH = (277 sqrt (2/65)) / 7 #

Usa la trigonometría para tener el ángulo formado por #vec (AB) # y el eje entonces tiene el ángulo formado por #vec (AH) # y el eje

Tu encuentras #cos (theta) = -7 / sqrt (130) #

Tu encuentras #sin (theta) = 9 / sqrt (130) #

#x = rcos (theta) #

#y = rsin (theta) #

Dónde # r # Es la norma así:

#x = -277 / 65 #

#y = 2493/455 #

#vec (AH) = (-277/65, 2493/455) #

#H = (-277/65 + 2, 2493/455 - 18/7) #

#H = (-147/65, 189/65) #

Ahora que tienes este punto, puedes decir "AAAAAAAAAAAAAAH" porque terminaste pronto

Solo necesito imaginar un punto más. #M = (x, y) # que puede estar en cualquier parte

#vec (HM) # y #vec (AB) # son perpendiculares si y solo si #vec (HM) * vec (AB) = 0 #

Es solo porque #vec (a) * vec (b) = a * b * cos (theta) # si son perpendiculares #theta = pi / 2 # y #cos (theta) = 0 #

#vec (HM) = (x + 147/65), (y-189/65) #

#vec (HM) * vec (AB) = - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) #

# - (x + 147/65) +9/7 (y-189/65) = 0 # es tu linea

Punto rojo es # H #

Punto negro es #PAG#

Línea azul es #vec (AB) #

Puedes ver las dos líneas