Un entero positivo es 3 menos que dos veces otro. La suma de sus cuadrados es 117. ¿Cuáles son los enteros?

Responder:

#9# y #6#

Explicación:

Los cuadrados de los primeros enteros positivos son:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Los únicos dos cuya suma es #117# son #36# y #81#.

Se ajustan a las condiciones ya que:

#color (azul) (6) * 2-3 = color (azul) (9) #

y:

#color (azul) (6) ^ 2 + color (azul) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Así que los dos enteros son #9# y #6#

¿Cómo podríamos haber encontrado estos más formalmente?

Supongamos que los enteros son #metro# y #norte#, con:

#m = 2n-3 #

Entonces:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Asi que:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (blanco) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (blanco) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (blanco) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (blanco) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (blanco) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (blanco) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Por lo tanto:

#n = 6 "" # o # "" n = -18 / 5 #

Solo estamos interesados en soluciones enteras positivas, por lo que:

#n = 6 #

Entonces:

#m = 2n-3 = 2 (color (azul) (6)) - 3 = 9 #