¿Para qué valores de x es f (x) = x-x ^ 2e ^ -x cóncavo o convexo?

Responder:

Encuentra la segunda derivada y comprueba su signo. Es convexo si es positivo y cóncavo si es negativo.

Cóncavo para:

#x en (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convexo para:

#x en (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Explicación:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Primer derivado:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Tomar # e ^ -x # Como factor común para simplificar la siguiente derivada:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Segunda derivada:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Ahora debemos estudiar el signo. Podemos cambiar el signo para resolver fácilmente la cuadrática:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Para hacer un producto cuadrático:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Por lo tanto:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Un valor de #X# entre estas dos soluciones da un signo cuadrático negativo, mientras que cualquier otro valor de #X# lo hace positivo.
• Cualquier valor de #X# hace # e ^ -x # positivo.
• El signo negativo al comienzo de la función invierte todos los signos.

Por lo tanto, #f '' (x) # es:

Positivo, por lo tanto cóncavo para:

#x en (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativo, por lo tanto convexo para:

#x en (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #