¿Cómo integrar int x ^ lnx?

Responder:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Explicación:

Comenzamos con una sustitución en u con # u = ln (x) #. Luego dividimos por el derivado de # u # integrar con respecto a # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Ahora tenemos que resolver para #X# en términos de # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Podría adivinar que esto no tiene un anti-derivado elemental, y tendría razón. Sin embargo, podemos usar el formulario para la función de error imaginario, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Para obtener nuestra integral en esta forma, solo podemos tener una variable al cuadrado en el exponente de #mi#, así que tenemos que completar el cuadrado:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Ahora podemos introducir una sustitución en u con # t = u + 1/2 #. El derivado es justo #1#, por lo que no necesitamos hacer nada especial para integrar con respecto a # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Ahora podemos deshacer todas las sustituciones para obtener:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #