¿Cómo integrar int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx por fracciones parciales?

$¿Cómo integrar int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx por fracciones parciales?$

Responder:

# 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Explicación:

Entonces, primero escribimos esto:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Por adición conseguimos:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Utilizando # x = -2 # Nos da:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Entonces usando # x = -1 # Nos da:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Ahora usando # x = 0 # (Se puede usar cualquier valor que no haya sido usado):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2dx #

Dejé esto fuera para que podamos trabajar en él por separado.

Tenemos # - (x + 1) ^ - 2 #. Sabemos que usar la regla de la cadena nos da # d / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Solo tenemos # - (x + 1) ^ - 2 #, asi que #f (x) # debe ser # (x + 1) ^ - 1 #

# d / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

¿Cuáles son las reglas para hacer fracciones parciales?

Tenga cuidado, puede ser un poco complicado. Pasaré por algunos ejemplos, ya que existen innumerables problemas con su propia solución. Digamos que tenemos (f (x)) / (g (x) ^ n) Necesitamos escribirlo como una suma. (f (x)) / (g (x) ^ n) = sum_ (a = 1) ^ nA / (g (x) ^ a) Por ejemplo, (f (x)) / (g (x) ^ 3 ) = A / (g (x)) + B / (g (x) ^ 2) + C / (g (x) ^ 3) O tenemos (f (x)) / (g (x) ^ ah) (x) ^ b) = sum_ (n_1 = 1) ^ aA / (g (x) ^ (n_1)) + sum_ (n_2 = 1) ^ bB / (h (x) ^ (n_2)) Por ejemplo, ( f (x)) / (g (x) ^ 2h (x) ^ 3) = A / (g (x)) + B / (g (x) ^ 2) + C / (h (x)) + D / (h (x) ^ 2) + E / (h (x) ^ 3) El siguiente

¿Cómo se integra f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) usando fracciones parciales?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Desde el denominador ya está factorizado, todo lo que necesitamos para hacer fracciones parciales es resolver las constantes: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Tenga en cuenta que necesitamos tanto una x como un término constante en la fracción más a la izquierda porque el numerador es siempre 1 grado más bajo que el denominador Podríamos multiplicarnos por el denominador del lado izquierdo, pero eso sería una gran cantidad de trabajo

¿Cómo se integra int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) usando fracciones parciales?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Necesitamos encontrar A, B, C tal que 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) para todos los x. Multiplica ambos lados por x ^ 2 (2x-1) para obtener 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Los coeficientes de igualación nos dan {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Y así tenemos A = -2, B = -1, C = 4. Sustituyendo esto en la ecuación inicial, obtenemos 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ahora, integre el término con el término int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx para