¿Cómo se integra f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) usando fracciones parciales?

$¿Cómo se integra f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) usando fracciones parciales?$

Responder:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Explicación:

Dado que el denominador ya está factorizado, todo lo que necesitamos para hacer fracciones parciales es resolver las constantes:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Tenga en cuenta que necesitamos tanto un #X# y un término constante en la fracción más a la izquierda porque el numerador siempre es de 1 grado más bajo que el denominador.

Podríamos multiplicarnos por el denominador del lado izquierdo, pero eso sería una gran cantidad de trabajo, por lo que podemos ser inteligentes y usar el método de encubrimiento.

No repasaré el proceso en detalle, pero esencialmente lo que hacemos es averiguar qué hace que el denominador sea igual a cero (en el caso de #DO# es # x = 3 #), y enchufándolo en el lado izquierdo y evaluando mientras encubre el factor correspondiente a la constante que da:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (texto (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Podemos hacer lo mismo por #RE#:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (texto (////))) = 35/51 #

El método de encubrimiento solo funciona para factores lineales, por lo que nos vemos obligados a resolver para el #UNA# y #SEGUNDO# utilizando el método tradicional y multiplicando por el denominador del lado izquierdo:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Si multiplicamos a través de todos los paréntesis e igualamos todos los coeficientes de los diversos #X# Y en términos constantes, podemos averiguar los valores de #UNA# y #SEGUNDO#. Es un cálculo bastante largo, así que solo dejaré un enlace para quien esté interesado:

haga clic aquí

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Esto da que nuestra integral sea:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Los dos primeros pueden resolverse utilizando sustituciones en u bastante simples de los denominadores:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Podemos dividir la integral restante en dos:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Llamaré al izquierdo Integral 1 y al derecho Integral 2.

Integral 1

Podemos resolver esta integral mediante una u-sustitución de # u = x ^ 2 + 2 #. El derivado es # 2x #, entonces dividimos por # 2x # integrar con respecto a # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancelar (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Queremos obtener esta integral en el formulario para # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Si introducimos una sustitución con # x = sqrt2u #, podremos transformar nuestra integral en esta forma. Integrar con respecto a # u #, tenemos que multiplicar por # sqrt2 # (Desde que tomamos el derivado con respecto a # u # en lugar de #X#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Completando la integral original.

Ahora que sabemos a qué es igual Integral 1 e Integral 2, podemos completar la integral original para obtener nuestra respuesta final:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

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2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Necesitamos encontrar A, B, C tal que 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) para todos los x. Multiplica ambos lados por x ^ 2 (2x-1) para obtener 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Los coeficientes de igualación nos dan {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Y así tenemos A = -2, B = -1, C = 4. Sustituyendo esto en la ecuación inicial, obtenemos 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ahora, integre el término con el término int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx para

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Debe descomponer (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) como una fracción parcial. Está buscando a, b, c en RR tal que (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Les mostraré cómo encontrar un único, porque byc se encuentran exactamente de la misma manera. Si multiplicas ambos lados por x + 3, esto hará que desaparezca del denominador del lado izquierdo y aparecerá junto a b y c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Evalúas esto en x-3 para hacer

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Int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o Configure la ecuación para resolver las variables A, B, C int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2) dx Resolvamos para A, B, C primero (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1 ) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 LCD = (x-1) (x + 1) ^ 2 (4x ^ 2 + 6x -2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) Simplifica (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B ( x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) (4x ^ 2 + 6x-2) /