¿Cómo integrar int e ^ x sinx cosx dx?

Responder:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Explicación:

Primero podemos usar la identidad:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

lo que da:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Ahora podemos utilizar la integración por partes. La fórmula es:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

voy a permitir #f (x) = pecado (2x) # y #g '(x) = e ^ x / 2 #. Aplicando la fórmula, obtenemos:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Ahora podemos aplicar la integración por partes una vez más, esta vez con #f (x) = cos (2x) # y #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sen (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Ahora tenemos la integral en ambos lados de la igualdad, por lo que podemos resolverla como una ecuación. Primero, agregamos 2 veces la integral a ambos lados:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Como queríamos una mitad como el coeficiente de la integral original, dividimos ambos lados por #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Responder:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Explicación:

Nosotros buscamos:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Que utilizando la identidad:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Podemos escribir como:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Donde por conveniencia denotamos:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #y # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Ahora, realizamos la integración por partes una vez más.

Dejar # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Luego de conectarnos a la fórmula IBP obtenemos:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Ahora, tenemos dos ecuaciones simultáneas en dos incógnitas. #ES#. y # I_C #, así que sustituyendo B en A tenemos:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Llevando a:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #