¿Cuál es el rango de la función f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Responder:

El rango es #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Explicación:

Tenga en cuenta que el denominador está indefinido cuando

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, es decir, cuando

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

o

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, dónde #n en ZZ # (#norte# es un número entero).

Como #X# enfoques #x_ (1, n) # desde abajo, #f (x) # enfoques # - infty #, mientras que si #X# enfoques #x_ (1, n) # desde arriba entonces #f (x) # enfoques # + infty #. Esto se debe a la división por "casi #-0# o #+0#'.

por #x_ (2, n) # La situación se invierte. Como #X# enfoques #x_ (2, n) # desde abajo, #f (x) # enfoques # + infty #, mientras que si #X# enfoques #x_ (2, n) # desde arriba entonces #f (x) # enfoques # -infty #.

Obtenemos una secuencia de intervalos en la que #f (x) # Es continuo, como puede verse en la trama. Considere primero los "tazones" (en cuyos extremos la función explota hasta # + infty #). Si podemos encontrar los mínimos locales en estos intervalos, entonces sabemos que #f (x) # asume todos los valores entre este valor y # + infty #. Podemos hacer lo mismo para "tazones al revés", o "tapas".

Notamos que el valor positivo más pequeño se obtiene cuando el denominador en #f (x) # Es lo más grande posible, que es cuando #sin (x) = 1 #. Así que concluimos que el valor positivo más pequeño de #f (x) # es #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

El valor negativo más grande es similarmente encontrado #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Debido a la continuidad de #f (x) # En los intervalos entre discontinuidades y el teorema del valor intermedio, podemos concluir que el rango de #f (x) # es

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty) #

Los corchetes duros significan que el número se incluye en el intervalo (por ejemplo, #-1/2#), mientras que los soportes blandos significan que el número no está incluido.

gráfico {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}