¿Cómo probar que la serie es convergente?

Responder:

Convergencias por la prueba de comparación directa.

Explicación:

Podemos utilizar la prueba de comparación directa, en la medida en que tengamos

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, la serie comienza a la una.

Para utilizar la prueba de comparación directa, tenemos que demostrar que # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # es positivo en # 1, oo) #.

En primer lugar, tenga en cuenta que en el intervalo # 1, oo), cos (1 / k) # es positivo. Para valores de #X # cosx # Está en el primer cuadrante (y por lo tanto positivo). Bien para #k> = 1, 1 / k asi que, #cos (1 / k) # es de hecho positivo.

Además, podemos decir #cos (1 / k) <= 1 #, como #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Entonces, podemos definir una nueva secuencia.

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # para todos # k. #

Bien, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Sabemos que esto converge por la #pag-#serie de pruebas, es en la forma # sum1 / k ^ p # dónde # p = 2> 1 #.

Entonces, como la serie más grande converge, también lo hacen las series más pequeñas.

Responder:

Converge por la prueba de comparación directa (ver más abajo para más detalles).

Explicación:

Reconocer que el rango de coseno es -1,1. Echa un vistazo a la gráfica de #cos (1 / x) #:

gráfica {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Como puedes ver, la máximo el valor que esto logrará será 1. Ya que estamos tratando de demostrar la convergencia aquí, configuremos el numerador a 1, dejando:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Ahora, esto se convierte en un problema de prueba de comparación directa muy simple. Recuerde lo que hace la prueba de comparación directa:

Considera una serie arbitraria. #un# (no sabemos si converge / divergen), y una serie para la cual conocemos la convergencia / divergencia, # b_n #:

Si #b_n> a_n # y # b_n # converge entonces #un# También converge.

Si #b_n <a_n # y # b_n # divergen entonces #un# también diverge.

Podemos comparar esta función para #b_n = 1 / k ^ 2 #. Podemos hacer esto porque sabemos que converge (debido a la prueba p).

Entonces desde # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #y # 1 / k ^ 2 # converge, podemos decir que el la serie converge

Pero, espera, solo probamos que esta serie converge cuando el numerador = 1. ¿Qué pasa con todos los demás valores? #cos (1 / k) # ¿Podría tomar? Bueno, recuerda que 1 es el máximo Valor que el numerador podría tomar. Entonces, como hemos comprobado que esto converge, hemos comprobado indirectamente que esta serie ha convergido para cualquier valor en el numerador.

Espero que haya ayudado:)