¿Encuentra los valores de x para los cuales la siguiente serie es convergente?

Responder:

#1<>

Explicación:

Cuando se trata de determinar el radio y / o el intervalo de convergencia de series de potencia como estas, es mejor utilizar la Prueba de relación, que nos indica una serie. # suma_n #, dejamos

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Si #L <1 # La serie es absolutamente convergente (y por lo tanto convergente).

Si #L> 1 #, la serie diverge.

Si # L = 1, # La prueba de relación no es concluyente.

Para Power Series, sin embargo, son posibles tres casos.

a. La serie de potencias converge para todos los números reales; su intervalo de convergencia es # (- oo, oo) #

segundo. La serie de potencias converge por algún número. # x = a; # su radio de convergencia es cero.

do. El caso más frecuente, la serie de potencias converge para. # | x-a |<> con un intervalo de convergencia de #Arkansas

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Así que si # | 2x-3 | <1 #, la serie converge. Pero necesitamos esto en la forma. # | x-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <1/2 # resultados en convergencia. El radio de convergencia es # R = 1 / 2. #

Ahora, vamos a determinar el intervalo:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Necesitamos enchufar # x = 1, x = 2 # en la serie original para ver si tenemos convergencia o divergencia en estos puntos finales.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverges, el summand no tiene límite y ciertamente no va a cero, simplemente alterna los signos.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # divergen también por la prueba de divergencia, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Por lo tanto, la serie converge para #1<>

Podemos usar la prueba de relación que dice que si tenemos una serie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

es definitivamente convergente si:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

En nuestro caso, # a_n = (2x-3) ^ n #, así comprobamos el límite:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) cancel ((2x-3) ^ n)) / cancelar ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Por lo tanto, tenemos que comprobar cuándo # | 2x-3 | # es menos que #1#:

Cometí un error aquí, pero la respuesta anterior tiene el mismo método y una respuesta correcta, así que en vez de eso, échale un vistazo.

La función f está definida por f: x = 6x-x ^ 2-5 Encontrar un conjunto de valores de x para los cuales f (x) <3 He encontrado valores de x que son 2 y 4 Pero no sé en qué dirección signo de desigualdad debe ser?

X <2 "o" x> 4> "requieren" f (x) <3 "express" f (x) <0 rArr-x ^ 2 + 6x-5 <3 rArr-x ^ 2 + 6x-8 <0larrcolor (azul) "factor cuadrático" rArr- (x ^ 2-6x + 8) <0 "los factores de + 8 que suman a - 6 son - 2 y - 4" rArr- (x-2) (x-4 ) <0 "resolver" (x-2) (x-4) = 0 x-2 = 0rArrx = 2 x-4 = 0rArrx = 4 rArrx = 2, x = 4larrcolor (azul) "son las intersecciones x" " el coeficiente del "x ^ 2" término "<0rArrnnn rArrx <2" o "x> 4 x en (-oo, 2) uu (4, oo) larrcolor (azul)" en notación d

Usando los valores de dominio {-1, 0, 4}, ¿cómo encuentra los valores de rango para la relación f (x) = 3x-8?

Rango f (x) en {color (rojo) (- 11), color (rojo) (- 8), color (rojo) 4} Dado el dominio {color (magenta) (- 1), color (azul) 0, color (verde) 4} para la función f (color (marrón) x) = 3color (marrón) x-8 el rango será color (blanco) ("XXX") {f (color (marrón) x = color (magenta ) (- 1)) = 3xx (color (magenta) (- 1)) - 8 = color (rojo) (- 11), color (blanco) ("XXX {") f (color (marrón) x = color ( azul) 0) = 3xxcolor (azul) 0-8 = color (rojo) (- 8), color (blanco) ("XXX {") f (color (marrón) x = color (verde) 4) = 3xxcolor (verde ) 4-8 = color (rojo) 4 color

¿Cuáles son los valores de r (con r> 0) para los cuales la serie converge?

R <1 / e es la condición para la convergencia de sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) Simplemente responderé a la parte sobre la convergencia, habiendo sido respondida la primera parte en los comentarios. Podemos usar r ^ ln (n) = n ^ ln (r) para volver a escribir la suma sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) en la forma sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) La serie a la derecha es la forma en serie de la famosa función Zeta de Riemann. Es bien sabido que esta serie converge cuando p> 1. Usar este resultado directamente da -ln (r)> 1 implica que ln (r) <- 1 implica