Responder:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # para entero # k. #
Explicación:
He resuelto esto de dos maneras diferentes, pero creo que esta es la mejor. Existen varias fórmulas de doble ángulo para el coseno. No nos dejemos tentar por ninguno de ellos. Evitemos también cuadrar las ecuaciones.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
La combinación lineal de coseno y seno es un coseno de fase desplazada.
Dejar # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # y
# theta = texto {Arco} texto {tan} (2/1) #
Indiqué la tangente inversa principal, aquí en el primer cuadrante, alrededor de # theta = 63.4 ^ circ #. Estamos seguros
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Así podemos reescribir nuestra ecuación.
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Recuerde siempre la solución general a #cos x = cos a # es # x = pm a + 360 ^ circ k quad # para entero # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Tomando las señales una a la vez, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # Es una constante que podemos tratar de obtener una mejor expresión para:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Sabemos #fi# está en el segundo cuadrante, no en el rango habitual del valor principal.
#phi = texto {Arco} texto {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Resulta que no importa porque estamos añadiendo # 180 ^ circ k # a #fi# En la solución general de todos modos. Poniendolo todo junto, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k o x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
No tenemos que ser meticulosos sobre el valor principal del arctan; ya que estamos agregando # 180 ^ circ k # cualquier valor servirá. Podríamos escribir el primero # x = arctan (-3) # con el # 180 ^ circ k # implícito, pero dejémoslo aquí.
