¿Cuál es el entero más pequeño n tal que n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Responder:

# n = 8075 #

Explicación:

Dejar #v_p (k) # ser la multiplicidad de #pag# como factor de # k #. Es decir, #v_p (k) # es el mayor entero tal que # p ^ (v_p (k)) | k #.

Observaciones:

• Para cualquier #k en ZZ ^ + # y #pag# prime, tenemos #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Esto puede ser probado fácilmente por inducción)

• Para cualquier entero #k> 1 #, tenemos # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Esto es intuitivo, como múltiplos de poderes de #2# ocurren con más frecuencia que los múltiplos de potencias equivalentes de #5#, y puede ser probado rigurosamente usando un argumento similar)

• por #j, k en ZZ ^ + #, tenemos #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # para cualquier divisor principal #pag# de # j #.

Continuando, nuestro objetivo es encontrar el menor número entero. #norte# tal que # 10 ^ 2016 | n! #. Como # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, luego por la tercera observación, solo necesitamos confirmar que # 2016 <= v_2 (n!) # y # 2016 <= v_5 (n!) #. La segunda observación significa que la segunda implica la primera. Por lo tanto, es suficiente para encontrar el menor número entero #norte# tal que # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Encontrar #norte# Haremos una observación que nos permitirá calcular. # v_5 (5 ^ k!) #.

Entre #1# y # 5 ^ k #, existen # 5 ^ k / 5 # múltiplos de #5#, cada uno de los cuales contribuye al menos #1# a la suma #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Tambien hay # 5 ^ k / 25 # múltiplos de #25#, cada uno de los cuales aportará un adicional. #1# a la suma después del conteo inicial. Podemos proceder de esta manera hasta que alcancemos un único múltiplo de # 5 ^ k # (cual es # 5 ^ k # sí), que ha contribuido # k # tiempos hasta la suma. Calculando la suma de esta manera, tenemos

# v_5 (5 ^ k!) = suma_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = suma_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = suma_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = suma_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Así, encontramos que # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Finalmente, encontraremos #norte# tal que # v_5 (n!) = 2016 #. Si calculamos # v_5 (5 ^ k!) # para varios valores de # k #, encontramos

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Como #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, #norte# necesita dos "bloques" de #5^5#, dos de #5^4#cuatro de #5^3#y tres de #5^2#. Así, obtenemos

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Una computadora puede verificar rápidamente que #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Así #10^2016 | 8075!#, y como #5|8075!# con multiplicidad #2016# y #5|8075#, está claro que ningún valor menor será suficiente.