Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (1, 3) y (9, 4). Si el área del triángulo es 64, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?

Responder:

Las longitudes de los lados del triángulo son:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Explicación:

La distancia entre dos puntos. # (x_1, y_1) # y # (x_2, y_2) # viene dada por la fórmula de la distancia:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Así que la distancia entre # (x_1, y_1) = (1, 3) # y # (x_2, y_2) = (9, 4) # es:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

que es un número irracional un poco más grande que #8#.

Si uno de los otros lados del triángulo tuviera la misma longitud, entonces el área máxima posible del triángulo sería:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Así que ese no puede ser el caso. En cambio, los otros dos lados deben ser de la misma longitud.

Dado un triangulo con lados # a = sqrt (65), b = t, c = t #, podemos usar la fórmula de Heron para encontrar su área.

La fórmula de las garzas nos dice que el área de un triángulo con lados #a B C# y semi perimetral #s = 1/2 (a + b + c) # es dado por:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

En nuestro caso el semi perímetro es:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

y la fórmula de Heron nos dice que:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (blanco) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiplica ambos extremos por #2# Llegar:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Cuadrar ambos lados para obtener:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiplica ambos lados por #4/65# Llegar:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponer y añadir #65/4# a ambos lados para obtener:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Saca la raíz cuadrada positiva de ambos lados para obtener:

#t = sqrt (266369/260) #

Así que las longitudes de los lados del triángulo son:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Método alternativo

En lugar de utilizar la fórmula de Heron, podemos razonar de la siguiente manera:

Dado que la base del triángulo isósceles es de longitud:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

El area es # 64 = 1/2 "base" xx "altura" #

Así que la altura del triángulo es:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Esta es la longitud de la bisectriz perpendicular del triángulo, que pasa a través del punto medio de la base.

Así que los otros dos lados forman las hipotenusas de dos triángulos rectos con patas #sqrt (65) / 2 # y # (128sqrt (65)) / 65 #

Entonces por Pitágoras, cada uno de esos lados es de longitud:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #