¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (9, 5), (3, 8) y (5, 6)?

Responder:

Pasos: (1) encuentre las pendientes de 2 lados, (2) encuentre las pendientes de las líneas perpendiculares a esos lados, (3) encuentre las ecuaciones de las líneas con esas pendientes que pasan a través de los vértices opuestos, (4) encuentre las Punto donde se intersecan esas líneas, que es el ortocentro, en este caso #(6.67, 2.67)#.

Explicación:

Para encontrar el ortocentro de un triángulo, encontramos las pendientes (gradientes) de dos de sus lados, luego las ecuaciones de las líneas perpendiculares a esos lados.

Podemos usar esas pendientes más las coordenadas del punto opuesto al lado relevante para encontrar las ecuaciones de las líneas perpendiculares a los lados que pasan a través del ángulo opuesto: estas se denominan "altitudes" para los lados.

Donde las altitudes para dos de los lados se cruzan es el ortocentro (la altitud para el tercer lado también pasaría por este punto).

Etiquetemos nuestros puntos para que sea más fácil referirse a ellos:

Punto A = #(9, 5)#

Punto B = #(3, 8)#

Punto C = #(5, 6)#

Para encontrar la pendiente, usa la fórmula:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Sin embargo, no queremos estas pendientes, sino que las pendientes de las líneas son perpendiculares (en ángulo recto). La recta perpendicular a una recta con pendiente. #metro# tiene pendiente # -1 / m #, entonces la línea perpendicular a # AB # tiene pendiente #-2# y la recta perpendicular a #ANTES DE CRISTO# tiene pendiente #1#.

Ahora podemos encontrar las ecuaciones de las altitudes del punto C (opuesto AB) y el punto A (opuesto BC) respectivamente al sustituir las coordenadas de esos puntos en la ecuación

# y = mx + c #

Para el punto C, la altitud es:

# 6 = -2 (5) + c # lo que da # c = 6 + 10 = 16 # por lo tanto #y = -2x + 16 #

Del mismo modo, para el punto A:

# 5 = 1 (9) + c # lo que da # c = 5-9 = -4 # entonces la ecuación es:

# y = x-4 #

Para encontrar el ortocentro, simplemente necesitamos encontrar el punto donde se cruzan estas dos líneas. Podemos equipararlos entre sí:

# -2x + 16 = x-4 #

Reorganizar, # 3x = 20 a x ~~ 6.67 #

Sustituye en cualquier ecuación para encontrar el # y # valor, que es #2.67#.

Por eso el ortocentro es el punto. #(6.67, 2.67)#.