Sea P cualquier punto en la cónica r = 12 / (3-sen x). Sean F¹ y F² los puntos (0, 0 °) y (3, 90 °) respectivamente. Mostrar que PF¹ y PF² = 9?

Responder:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Se nos pide que mostremos # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, es decir #PAG# barre una elipse con focos # F_1 # y # F_2. # Vea la prueba a continuación.

Explicación:

Vamos a arreglar lo que supongo que es un error tipográfico y decir #P (r, theta) # satisface

#r = 12 / {3-sin theta} #

La gama de seno es #pm 1 # así que concluimos # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

En coordenadas rectangulares, # P = (r cos theta, r sin theta) # y # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # como ya sabemos # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #

Sea A (x_a, y_a) y B (x_b, y_b) dos puntos en el plano y sea P (x, y) el punto que divide la barra (AB) en la relación k: 1, donde k> 0. Mostrar que x = (x_a + kx_b) / (1 + k) e y = (y_a + ky_b) / (1 + k)?

Vea la prueba a continuación Comencemos calculando vec (AB) y vec (AP) Comenzamos con x vec (AB) / vec (AP) = (k + 1) / k (x_b-x_a) / (x-x_a) = (k + 1) / k Multiplicando y reorganizando (x_b-x_a) (k) = (x-x_a) (k + 1) Resolviendo para x (k + 1) x = kx_b-kx_a + kx_a + x_a (k + 1) ) x = x_a + kx_b x = (x_a + kx_b) / (k + 1) De manera similar, con y (y_b-y_a) / (y-y_a) = (k + 1) / k ky_b-ky_a = y (k +1) - (k + 1) y_a (k + 1) y = ky_b-ky_a + ky_a + y_a y = (y_a + ky_b) / (k + 1)

Sea P (x_1, y_1) un punto y sea l la recta con la ecuación ax + by + c = 0.Mostrar la distancia d desde P-> l viene dada por: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Encuentra la distancia d del punto P (6,7) desde la línea l con la ecuación 3x + 4y = 11?

D = 7 Sea l-> a x + b y + c = 0 y p_1 = (x_1, y_1) un punto que no esté en l. Suponiendo que b ne 0 y llamando d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 después de sustituir y = - (a x + c) / b en d ^ 2 tenemos d ^ 2 = ( x - x_1) ^ 2 + ((c + ax) / b + y_1) ^ 2. El siguiente paso es encontrar el mínimo de d ^ 2 con respecto a x, de modo que encontraremos x tal que d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + ax) / b + y_1 )) / b = 0. Esto ocurre para x = (b ^ 2 x_1 - ab y_1-ac) / (a ^ 2 + b ^ 2) Ahora, sustituyendo este valor en d ^ 2 obtenemos d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) entonces d = (c + a

Martha está jugando con el lego. Ella tiene 300 de cada tipo - 2 puntos, 4 puntos, 8 puntos. Algunos ladrillos solían hacer zombie. Utiliza 2 puntos, 4 puntos, 8 puntos en una relación de 3: 1: 2 cuando finaliza tiene el doble de 4 puntos restantes que 2 puntos. ¿Cuántos 8 puntos quedan?

El número de 8 puntos restantes es 225 Deje que el identificador para el tipo 2 sea S_2 larr 300 al inicio Deje que el identificador para el tipo 4 sea S_4 larr300 al comienzo Deje que el identificador para el tipo 8 sea S_8larr 300 al inicio Zombi -> S_2: S_4: S_8 -> 3: 2: 1 Quedan: S_2: S_4: S_8 -> 1: 2 :? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Note que tenemos: color (marrón) ("Como una conjetura") zombiecolor (blanco) ("dd") -> 3: 2: 1 restante (-> 1: 2 :?) color (blanco) ("ddddddd") -> 4: 4 :? Como la suma vertical de todas las diferentes relaciones de tipo