Las dos esquinas de un triángulo tienen ángulos de (3 pi) / 8 y pi / 8. Si un lado del triángulo tiene una longitud de 3, ¿cuál es el perímetro más largo posible del triángulo?

Primero, notamos que si dos ángulos son # alfa = pi / 8 # y # beta = (3pi) / 8 #, como la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre #Pi# El tercer ángulo es: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, así que este es un triángulo rectángulo.

Para maximizar el perímetro, el lado conocido debe ser el cateto más corto, por lo que será opuesto al ángulo más pequeño, que es #alfa#.

La hipotenusa del triángulo será entonces:

# c = a / sin alfa = 3 / sin (pi / 8) #

dónde #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

mientras que el otro cateto es:

#b = a / tan (pi / 8) #

dónde #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Finalmente:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Las dos esquinas de un triángulo tienen ángulos de (2 pi) / 3 y (pi) / 4. Si un lado del triángulo tiene una longitud de 12, ¿cuál es el perímetro más largo posible del triángulo?

El perímetro más largo posible es 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Como dos ángulos son (2pi) / 3 y pi / 4, el tercer ángulo es pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Para el lado del perímetro más largo de la longitud 12, digamos que a, debe ser opuesto al ángulo más pequeño pi / 12 y luego, utilizando la fórmula sinusoidal, otros dos lados serán 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Por lo tanto, b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 yc = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.258

Las dos esquinas de un triángulo tienen ángulos de (2 pi) / 3 y (pi) / 4. Si un lado del triángulo tiene una longitud de 4, ¿cuál es el perímetro más largo posible del triángulo?

P_max = 28.31 unidades El problema te da dos de los tres ángulos en un triángulo arbitrario. Como la suma de los ángulos en un triángulo debe sumar hasta 180 grados o pi radianes, podemos encontrar el tercer ángulo: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Dibujemos el triángulo: el problema dice que uno de los lados del triángulo tiene una longitud de 4, pero no especifica de qué lado. Sin embargo, en cualquier triángulo dado, es cierto que el lado más pequeño estará opuesto al ángulo más

Las dos esquinas de un triángulo tienen ángulos de (2 pi) / 3 y (pi) / 4. Si un lado del triángulo tiene una longitud de 19, ¿cuál es el perímetro más largo posible del triángulo?

El color del perímetro más largo posible (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Los tres ángulos son (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 ya que los tres ángulos se suman a pi ^ c Para obtener el perímetro más largo, el lado 19 debe corresponder al ángulo más pequeño pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sin ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Color del perímetro más largo posible (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842 )