¿Cómo encuentras la derivada de y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Responder:

# dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Explicación:

Utilice la regla del producto:

Si # y = f (x) g (x) #, entonces

# dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

Asi que, #f (x) = sin ^ 2x #

#g (x) = cos ^ 2x #

Usa la regla de la cadena para encontrar ambos derivados:

Recordar que # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#g '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Así, # dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Ahí está la identidad que # 2sinxcosx = sin2x #, pero esa identidad es más confusa que útil cuando se simplifican las respuestas.

Responder:

Hay algo que hace que la respuesta sea mucho más fácil de encontrar.

Explicación:

También puedes recordar que #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, de ahí una nueva expresión de la función.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # que es mucho más fácil de derivar (1 cuadrado en lugar de 2).

El derivado de # u ^ n # es # n * u'u ^ (n-1) # y el derivado de #sin (2x) # es # 2cos (2x) #

Asi que #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

La ventaja de esas identidades trigonométricas es que los físicos pueden encontrar toda la información en la onda que representa esta función. También son muy útiles cuando tienes que encontrar primitivas de funciones trigonométricas.