Supongamos que lanza un proyectil a una velocidad lo suficientemente alta como para que pueda golpear un objetivo a una distancia. Dado que la velocidad es de 34 m / sy la distancia de alcance es de 73 m, ¿cuáles son los dos ángulos posibles desde los que se puede lanzar el proyectil?

Responder:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70.88 ° #.

Explicación:

El movimiento es un movimiento parabólico, que es la composición de dos movimientos:

El primero, horizontal, es un movimiento uniforme con ley:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

y el segundo es un movimiento desacelerado con ley:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

dónde:

• # (x, y) # es la posición en el momento # t #;
• # (x_0, y_0) # es la posición inicial;
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # son los componentes de la velocidad inicial, que son, para las leyes de trigonometría:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (#alfa# es el ángulo que forma la velocidad del vector con la horizontal);

• # t # es hora;
• #sol# Es la aceleración de la gravedad.

Para obtener la ecuación del movimiento, una parábola, tenemos que resolver el sistema entre las dos ecuaciones escritas arriba.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Encontremos # t # de la primera ecuación y vamos a sustituir en la segunda:

# t = (x-x_0) / v_ (0x) #

# y = y_0 + v_ (0y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # o:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) # o

# y = y_0 + sinalpha (x-x_0) / cosalpha-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) #

Para encontrar el rango podemos asumir:

# (x_0, y_0) # es el origen #(0,0)#, y el punto en el que cae tiene coordenadas: # (0, x) # (#X# es el rango!), entonces:

# 0 = 0 + sinalpha * (x-0) / cosalpha-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x) = 0 #

# x = 0 # Es una solución (el punto inicial!)

# x = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(utilizando la fórmula de doble ángulo del seno).

Ahora tenemos el Correcto fórmula para responder a la pregunta:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9.8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

y (el seno tiene soluciones suplementarias):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70.88 ° #.