¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Responder:

Dominio: # mathbb {R} setminus {3} #

Distancia: # mathbb {R} #

Explicación:

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de puntos en los que se define la función. Con la función numérica, como probablemente sepa, algunas operaciones no están permitidas, es decir, la división por #0#, logaritmos de números no positivos e incluso raíces de números negativos.

En su caso, no tiene logaritmos ni raíces, por lo que solo tiene que preocuparse por el denominador. Al imponer #x - 3 ne 0 #, encontrarás la solución #x ne 3 #. Entonces, el dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto #3#, que puedes escribir como # mathbb {R} setminus {3} # o en la forma de intervalo # (- infty, 3) cup (3, infty) #

Distancia

El rango es un intervalo cuyos extremos son los valores más bajos y más altos posibles alcanzados por la función. En este caso, ya notamos que nuestra función tiene un punto de no definición, lo que conduce a una asíntota vertical. Al aproximarse a las asíntotas verticales, las funciones se desvían hacia # -infty # o # infty #. Estudiemos lo que sucede alrededor # x = 3 #: si consideramos el límite izquierdo tenemos

#lim_ {x to 3 ^ frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - infty #

De hecho, si #X# enfoques #3#, pero sigue siendo menos de #3#, # x-3 # será ligeramente menor que cero (piense, por ejemplo, en #X# asumiendo valores como #2.9, 2.99, 2.999,…#

Por la misma lógica, #lim_ {x to 3 ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = infty #

Dado que la función se acerca tanto a # -infty # y # infty #, el rango es # (- infty, infty) #, que por supuesto es equivalente al conjunto de números reales enteros # mathbb {R} #.

Responder:

#x en (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y en (-oo, 1) uu (1, oo) #

Explicación:

El denominador de f) x) no puede ser cero, ya que esto haría que f (x) no esté definido. Igualando el denominador a cero y resolviendo da el valor que x no puede ser.

# "resolver" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (rojo) "valor excluido" #

# "dominio" x en (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "let" y = (x + 9) / (x-3) #

# "reorganizar haciendo x el sujeto" #

#y (x-3) = x + 9 #

# xy-3y = x + 9 #

# xy-x = 9 + 3y #

#x (y-1) = 9 + 3y #

# x = (9 + 3y) / (y-1) #

# "resolver" y-1 = 0rArry = 1larrcolor (rojo) "valor excluido" #

# "rango" y en (-oo, 1) uu (1, oo) #

gráfica {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}