¿Cómo encuentras la antiderivada de (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Responder:

#arctan (e ^ x) + C #

Explicación:

# "escriba" e ^ x "dx como" d (e ^ x) ", luego obtenemos" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "con la sustitución y =" e ^ x ", obtenemos" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "que es igual a" #

#arctan (y) + C #

# "Ahora sustituye" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Responder:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Explicación:

Queremos encontrar # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Ahora deja # u = e ^ x # Y así, tomando el diferencial en ambos lados da # du = e ^ xdx #. Ahora sustituimos ambas ecuaciones en la integral para obtener

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Esta es una integral estándar que evalúa a # arctanu #. Sustituyendo de nuevo por #X# obtenemos una respuesta final:

#arctan e ^ x + "c" #

Responder:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Explicación:

Primero dejamos # u = 1 + e ^ (2x) #. Integrar con respecto a # u #, dividimos por el derivado de # u #, cual es # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Integrar con respecto a # u #, necesitamos todo lo expresado en términos de # u #, así que tenemos que resolver por qué # e ^ x # es en términos de # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) sqrt (u-1) #

Ahora podemos volver a conectar esto en la integral:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

A continuación vamos a introducir una sustitución con # z = sqrt (u-1) #. El derivado es:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

Así lo dividimos por integrarlo con respecto a # z # (recuerde que dividir es lo mismo que multiplicar por el recíproco):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Ahora, una vez más tenemos la variable incorrecta, por lo que necesitamos resolver qué # u # es igual a en términos de # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Esto da:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Este es el derivado común de # tan ^ -1 (z) #, entonces obtenemos:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Deshaciendo todas las sustituciones, obtenemos:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #