Responder:
Haga mucho álgebra después de aplicar la definición límite para encontrar que la pendiente en # x = 3 # es #13#.
Explicación:
La definición límite del derivado es:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Si evaluamos este límite para # 3x ^ 2-5x + 2 #, obtendremos una expresión para el derivado de esta funcion La derivada es simplemente la pendiente de la línea tangente en un punto; evaluando el derivado en # x = 3 # Nos dará la pendiente de la línea tangente en # x = 3 #.
Dicho esto, vamos a empezar:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancelar (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-cancelar (5x) -5h + cancelar (2) -cancelar (3x ^ 2) + cancelar (5x) -cancelar (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancelar (h) (6x + 3h-5)) / cancelar (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Evaluando este límite en # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Ahora que tenemos el derivado, solo necesitamos conectar # x = 3 # para encontrar la pendiente de la línea tangente allí:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Responder:
Vea la sección de explicación a continuación si su maestro / libro de texto usa #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Explicación:
Algunas presentaciones de uso de cálculo, para la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de #f (x) # en el punto donde # x = a # es #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # siempre que exista el límite.
(Por ejemplo, la octava edición de James Stewart Cálculo p 106. En la página 107, da el equivalente. #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Con esta definición, la pendiente de la línea tangente a la gráfica de #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # en el punto donde # x = 3 # es
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Tenga en cuenta que este límite tiene forma indeterminada. #0/0# porque #3# es un cero del polinomio en el numerador.
Ya que #3# es un cero, sabemos que # x-3 # es un factor Entonces podemos factorizar, reducir e intentar evaluar de nuevo.
# = lim_ (xrarr3) (cancelar ((x-3)) (3x + 4)) / cancelar ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
El limite es #13#, por lo que la pendiente de la recta tangente en # x = 3 # es #13#.
