¿Cuál es el ortocentro de un triángulo con esquinas en (5, 2), (3, 7) y (4, 9) #?

Responder:

#(-29/9, 55/9)#

Explicación:

Encuentra el ortocentro del triángulo con vértices de #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Nombraré el triángulo # DeltaABC # con # A = (5,2) #, # B = (3,7) # y # C = (4,9) #

El ortocentro es la intersección de las altitudes de un triángulo.

Una altitud es un segmento de línea que atraviesa un vértice de un triángulo y es perpendicular al lado opuesto.

Si encuentra la intersección de dos de las tres altitudes, este es el ortocentro porque la tercera altitud también se intersecará con las otras en este punto.

Para encontrar la intersección de dos altitudes, primero debes encontrar las ecuaciones de las dos líneas que representan las altitudes y luego resolverlas en un sistema de ecuaciones para encontrar su intersección.

Primero encontraremos la pendiente del segmento de línea entre #A y B# usando la fórmula de la pendiente # m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

La pendiente de una línea perpendicular a este segmento de línea es el signo opuesto recíproco de #-5/2#, cual es #2/5#.

Usando la fórmula de la pendiente del punto # y-y_1 = m (x-x_1) # Podemos encontrar la ecuación de altitud a partir de vértice. #DO# a un lado # AB #.

# y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (blanco) (aaa) # o

# y = 2/5 x + 37/5 #

Para encontrar la ecuación de una segunda altitud, encuentra la pendiente de uno de los otros lados del triángulo. Vamos a elegir BC.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

La pendiente perpendicular es #-1/2#.

Para encontrar la ecuación de la altitud a partir del vértice. #UNA# a un lado #ANTES DE CRISTO#, nuevamente use la fórmula de pendiente puntual.

# y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

El sistema de ecuaciones es

#color (blanco) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Resolviendo este sistema los rendimientos. #(-29/9, 55/9)#